Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A’B’C’\) có \(AB = a,AA’ = a\sqrt 2 \). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh \(BB’\) và \(CC’\). Mặt phẳng \(\left( {A’MN} \right)\) cắt đường thẳng AB, AC tương ứng tại \(H\) và \(K\).
a) Chứng minh rằng \(MN//HK\).
b) Tính theo a thể tích khối chóp \(A’\).AHK.
Thể tích khối chóp \(V = \frac{1}{3}h.S\)
a) Dễ dàng chứng minh
\( \Rightarrow BH = A’B’,CK = A’C’\)
Advertisements (Quảng cáo)
Mà \(AB = A’B’,AC = A’C’\)
Nên \(AB = BH,AC = CK\)
Do đó BC là đường trung bình tam giác AHK
\( \Rightarrow BC//HK\)
Ta có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh \(BB’\) và \(CC’\) nên MN là đường trung bình của hình BB’C’C do đó MN // BC
Vậy MN // HK
b) Ta có AK = 2AC, AH = 2AB, HK = 2BC mà AB = AC = BC nên AK = AH = KH
Do đó tam giác AHK là tam giác đều cạnh 2a
\( \Rightarrow {S_{AHK}} = {a^2}\sqrt 3 \)
Thể tích khối chóp \(A’\).AHK là \(V = \frac{1}{3}.AA’.{S_{AHK}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\)