Advertisements (Quảng cáo)
Bài 48. a. Chứng minh rằng \(\sin {\pi \over {12}} = {{\sqrt 3 – 1} \over {2\sqrt 2 }}\)
b. Giải các phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 – \sqrt 3 \) bằng cách biến đổi vế trái về dạng \(C\sin(x + α)\).
c. Giải phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 – \sqrt 3 \) bằng cách bình phương hai vế.
a. Ta có:
\(\eqalign{
& \sin {\pi \over {12}} = \sin \left( {{\pi \over 3} – {\pi \over 4}} \right) \cr
& = \sin {\pi \over 3}\cos {\pi \over 4} – \sin {\pi \over 4}\cos {\pi \over 3} \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} – {{\sqrt 2 } \over 2}.{1 \over 2} \cr
& = {{\sqrt 6 – \sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 – 1} \right)} \over 4} \cr
& = {{\sqrt 3 – 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr} \)
b. Ta có:
\(\eqalign{& 2\sin x – 2\cos x = 1 – \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x – {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {{1 – \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \sin x.\cos {\pi \over 4} – \sin {\pi \over 4}\cos x = – \sin {\pi \over {12}} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x – {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { – {\pi \over {12}}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x – {\pi \over 4} = – {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr
{x – {\pi \over 4} = \pi + {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
c. Chú ý rằng \(1 – \sqrt 3 < 0\), ta đặt điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) rồi bình phương hai vế của phương trình thì được :
\(\eqalign{& 4\left( {1 – \sin 2x} \right) = 4 – 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k\pi } \cr {x = {\pi \over 3} + k\pi } \cr}\,\,(k\in\mathbb Z) } \right. \cr} \)
Thử vào điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\), ta thấy :
* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 6} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) chẵn, tức là \(x = {\pi \over 6} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).
* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 3} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) lẻ, tức là \(x = {\pi \over 3} + \left( {2m + 1} \right)\pi = {{4\pi } \over 3} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).
Ta có kết quả như đã nêu ở câu b.