Advertisements (Quảng cáo)
Bài 50. Cho phương trình \({{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \over {2\cos x – \sin x}} = \cos 2x.\)
a. Chứng minh rằng \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) nghiệm đúng phương trình.
b. Giải phương trình bằng cách đặt \(\tan x = t\) (khi \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \) )
a. Thay \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) vào phương trình ta được :
\({{{{\left( { – 1} \right)}^{3k}}} \over { – {{\left( { – 1} \right)}^k}}} = \cos \pi \Leftrightarrow – 1 = – 1\) (luôn đúng)
Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình
b. * \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình.
* Với \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \) chia tử và mẫu của vế trái cho \({\cos ^3}x\) ta được :
\({{{{\tan }^3}x + 1} \over {2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = {{1 – {{\tan }^2}x} \over {1 + {{\tan }^2}x}}\)
Đặt \(t = \tan x\) ta được :
\(\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left( {2 – t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = {{1 – {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} – 1} \right)\left( {t – 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} – 2{t^2} – t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{t = – 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = – 1} \cr {\tan x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right. \cr & \text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm :\(x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = – {\pi \over 4} + k\pi ,x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)