Bài tập :
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) \(2si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sinxcosx{\rm{ }} - {\rm{ }}3co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
b) \(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\);
c) \(si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\) ;
d) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\).
a) Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương \(2tan^2x + tanx - 3 = 0\).
Đặt \(t = tanx\) thì phương trình này trở thành
\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đã cho tương đương:
\(\left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)
b)\(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)
\(\Leftrightarrow 3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2si{n^2}x{\rm{ }}\)
\(+ {\rm{ }}2co{s^2}x\)
\(\Leftrightarrow sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0\)
Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương
\(\Leftrightarrow tan^2x - 4tanx + 3 = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)
c) \(si{n^2}x{\rm{ }}+{\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\)
\(\Leftrightarrow si{n^2}x{\rm{ }} + 2sinxcosx- {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} =\)
\({1 \over 2}(sin^2x+cos^2x)\)
\({1 \over 2}si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinxcosx{\rm{ }} -{5\over 2}co{s^2}x = 0\)
\( \Leftrightarrow si{n^2}x +4\sin x\cos x - 5{\cos ^2}x = 0\)
Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương
\(\tan x + 4\tan x - 5= 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = -5 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan (-5)+ k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)
d) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\)
\(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4{\sin ^2}x = 0\)
\(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4(1 - {\cos ^2}x) = 0\)
\(\Leftrightarrow 6{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\)
\(\Leftrightarrow 6\cos x(\cos x - \sqrt 3 \sin x) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0(1) \hfill \cr
\cos x - \sqrt 3 \sin x = 0(2) \hfill \cr} \right.\)
Giải (1) ta được \(x={\pi\over 2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\))
Giải (2): Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình nên chia phương trình cho \(cosx\) ta được phương trình tương đương:
\(tanx={1\over\sqrt3}\Leftrightarrow x={\pi\over6}+k\pi(k\in\mathbb{Z})\)