Bài 4 trang 78 sách giáo khoa hình học lớp 11: Ôn tập Chương II - Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song...

Bài 4. Cho hình bình hành $ABCD$. Qua $A, B, C, D$ lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng $Ax, By, Cz, Dt$ ở cùng phía đối với mặt phẳng $(ABCD)$, song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Một mặt phẳng $(β)$ lần lượt cắt $Ax, By, Cz$ và $Dt$ tại $A’, B’, C’$ và $D’$.

a) Chứng minh mặt phẳng $(Ax, By)$ song song với mặt phẳng $( Cz, Dt)$

b) Gọi $I =  AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’$. Chứng minh $IJ$ song song với $AA’$

c) Cho $AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c$. Hãy tính $DD’$.

a) $Ax // Dt$ (giả thiết) và $AB // CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).

Do đó $(Ax, By) // ( Cz, Dt)$

b) Ta có  $(Ax, By) // ( Cz, Dt)$. Mặt phẳng $(A’B’C’D’)$ lần lượt cắt hai mặt phẳng $(Ax, By)$ và $( Cz, Dt)$ theo giao tuyến $A’B’$ và $C’D’$ do đó $A’B’//C’D’$.

Tương tự ta chứng minh được: $A’D’//B’C’$

Do đó $A’B’C’D’$ là hình bình hành.

$J=A’C’\cap B’D’$ nên $J$ là trung điểm của $A’C’$

Suy ra $IJ$ là đường trung bình hình thang $A’C’CA$ do đó $Ị$ song song với $AA’$.

c) Theo tính chất của đường trung bình hình thang ta có:

$AA’+CC’=2IJ$

$BB’+DD’=2IJ$

Do đó : $DD’=AA’+CC’-BB’$

            $DD’ = a + c - b$.