Bài 6 trang 58 sgk đại số và giải tích 11: Bài 3. Nhị thức Niu - Tơn...

Bài 6. Chứng minh rằng:
a) $11^{10} – 1$ chia hết cho $100$;

b) $101^{100}– 1$ chia hết cho $10 000$;

c) $\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]$ là một số nguyên.

a) ${11^{10}} - 1 = {\left( {1 + 10} \right)^{10}} - 1 = (1 + C_{10}^1.10 + C_{10}^2{.10^2}$

$+ ... + C_{10}^9{.10^9} + {10^{10}}) - 1$

            $= {\rm{ }}{10^2} + {\rm{ }}{C^2}_{10}{10^2} +  \ldots  + {\rm{ }}{C^9}_{10}{10^9} + {\rm{ }}{10^{10}}$

Tổng sau cùng chia hết cho $100$ suy ra $11^{10} – 1$ chia hết cho $100$.

b) Ta có

${101^{100}}-1{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}100} \right)^{100}} - {\rm{ }}1$

                  $= (1 + C_{100}^1.100 + C_{100}^2{100^2} + ... +$

                  $C_{100}^{99}{100^{99}} + {100^{99}}) - 1$

                     $= {100^2} + C_{100}^2{.100^2} + ... + C_{100}^{99}{.100^{99}} + {100^{100}}$

Tổng sau cùng chia hết cho $10 000$ suy ra $101^{100}– 1$ chia hết cho $10 000$.

c) ${(1 + \sqrt {10} )^{100}} = 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ...$

$- C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}} + {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}$

$= 1 - C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^2{\left( {\sqrt {10} } \right)^2} - ... C_{100}^{99}{\left( {\sqrt {10} } \right)^{99}}$

$+ {\left( {\sqrt {10} } \right)^{100}}$

$\sqrt {10} \left[ {{{\left( {1 + \sqrt {10} } \right)}^{100}} - {{\left( {1 - \sqrt {10} } \right)}^{100}}} \right]$=

$2\sqrt {10} .\left[ {C_{100}^1\sqrt {10}  + C_{100}^3{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^3} + ..+ C_{100}^{99}{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^{99}}} \right]$

$= 2\left( {C_{100}^1.10 + C_{100}^3{{.10}^2} + ... + C_{100}^{99}{{.10}^{50}}} \right)$

Tổng sau cùng là một số nguyên, suy ra $\sqrt{10}[{(1 + 10)}^{100} – {(1- \sqrt{10})}^{100}]$ là một số nguyên.