Bài 1.63 trang 36 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Cho hàm số y = 1/3/x^3 + m - 1 x^2 + 2m - 3 x + 2/3...

Cho hàm số $y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + \frac{2}{3}$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = 2$.

b) Tìm $m$ để hàm số có hai điểm cực trị ${x_1}$ và ${x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 5$.

c) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

d) Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Ý a: Thay $m = 2$ và hàm số sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,

Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, tìm điều kiện để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 5$, sử dụng định lý Viète mà một số biến đổi cơ bản để giải ra m.

Ý c: Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $y’ \ge 0\forall x \in \mathbb{R}$. Sử dụng kiến thức về dấu, nghiệm của tam thức bậc hai để làm.

Ý d: Kết hợp với bảng biến thiên để giải bài toán, lưu ý xét hết các trường hợp.

a) Khi $m = 2$ hàm số trở thành $y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + x + \frac{2}{3}$.

Tập xác định: $\mathbb{R}$.

+ Sự biến thiên:

Ta có $y’ = {x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

Lập bảng biến thiên:

+ Đồ thị: Đồ thị nhận $\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)$ làm tâm đối xứng.

b) Ta có $y’ = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3$.

Khi đó $y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3 - 2m$.

Để hàm số có hai cực trị thì đạo hàm $y’$ phải có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$, tức là $3 - 2m \ne - 1 \Leftrightarrow m \ne 2$

Để $x_1^2 + x_2^2 = 5$ thì ${\left( {3 - 2m} \right)^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow m \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right\}$.

c) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $y’ \ge 0\forall x \in \mathbb{R}$.

Ta có ${x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ‘ \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 - 2m = - 1 \Leftrightarrow m = 2$.

d) Ta có $y’ = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ hoặc $x = 3 - 2m$.

Trường hợp 1: $- 1 \le 3 - 2m \Leftrightarrow m \le 2$. Khi đó ta có bảng biến thiên:

Để hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ thì $3 - 2m \le 1 \Leftrightarrow m \ge 1$. Suy ra \(1 \le m

Trường hợp 2: $3 - 2m 2$. Khi đó ta có bảng biến thiên:

Ta thấy hàm số luôn đồng biến trên $\left( {1; + \infty } \right)$ nên trường hợp này ta có $m > 2$.

Vậy $m \ge 1$.