Cắt bỏ hình quạt tròn OAB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu \(\left( {0
a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo R và x.
b) Tính thể tích của hình nón theo R và x
c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Ý a: Chu vi đáy hình nón bằng độ dài cung AB, từ đó tìm được r, áp dụng định lý Pythagore để tìm h.
Ý b: Sau khi đã biết bán kính và chiều cao từ ý a, áp dụng công thức tính thể tích hình nón để tìm được V.
Ý c: Xét hàm số V theo x để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( {0;2\pi } \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón (chu vi đáy) bằng độ dài của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có \(2\pi r = Rx \Leftrightarrow r = \frac{{Rx}}{{2\pi }}\). Khi đó ta có:
\(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} = \frac{R}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).
b) Thể tích hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).
c) Ta cần tìm \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\) để thể tích \(V\) đạt giá trị lớn nhất.
Xét hàm số \(V = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} ,x \in \left( {0;2\pi } \right)\).
Ta có \(V’ = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}\frac{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\) suy ra \(V’ = 0 \Leftrightarrow x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi \), do \(x > 0\).
Lập bảng biến thiên:
Hình nón có diện tích lớn nhất khi \(x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi \) khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;2\pi } \right)} V = V\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi } \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\pi {R^3}\).