Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
Chứng minh MNPQ là hình bình hành. Từ đó thực hiện các tính toán với vế trái của đẳng thức cần chứng minh, sử dụng phép cộng vectơ trong hình bình hành, tính chất liên quan đến trung điểm.
Advertisements (Quảng cáo)
Xét tam giác ABC có M là trung điểm cạnh AB, N là trung điểm cạnh BC, suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC .Vì vậy \(MN\parallel AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AC\).
Tương tự ta cũng có PQ là đường trung bình của tam giác ACD do đó \(PQ\parallel AC\) và \(PQ = \frac{1}{2}AC\). Suy ra \(MN\parallel PQ\) và \(MN = PQ\), do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Khi đó ta có G là trung điểm của mỗi đường chéo MP và NQ.
Suy ra \(\overrightarrow {GM} = - \overrightarrow {GP} \) hay \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0 \).
Ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GP} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} } \right) = \overrightarrow 0 .\)