Bài 2.45 trang 57 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Cho hình tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 3, AC = 4...

Cho hình tứ diện $ABCD$ có ba cạnh $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB = 3,AC = 4,$

$AD = 6$. Xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với đỉnh $A$ và các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các tia $AB,AC,AD$. Gọi $E,F$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABD$ và $ACD$.

a) Tìm tọa độ của các đỉnh $B,C,D$.

b) Tìm tọa độ của các điểm $E,F$.

c) Chứng minh rằng $AD$ vuông góc với $EF$.

Ý a: Từ vị trí của các điểm trên trục và khoảng cách từ chúng đến gốc tọa độ ta sẽ xác định được tọa độ điểm.

Ý b: Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm.

Ý c: Chứng minh bằng cách sử dụng tính chất hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng của chúng bằng 0.

a) Từ cách lập hệ trục tọa độ của đề bài ta có $B\left( {3;0;0} \right)$, $C\left( {0;4;0} \right)$ và $D\left( {0;0;6} \right)$.

b) Ta có $A\left( {0;0;0} \right)$.

Xét tam giác $ABD$, tọa độ trọng tâm $E$ là $E\left( {\frac{3}{3};0;\frac{6}{3}} \right) \Leftrightarrow E\left( {1;0;2} \right)$.

Xét tam giác $ABD$, tọa độ trọng tâm $F$ là $F\left( {0;\frac{4}{3};\frac{6}{3}} \right) \Leftrightarrow F\left( {0;\frac{4}{3};2} \right)$.

c) Ta có $\overrightarrow {AD} = \left( {0;0;6} \right)$ và $\overrightarrow {EF} = \left( { - 1;\frac{4}{3};0} \right)$ suy ra $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {EF} = 0$. Do đó $AD$ vuông góc với $EF$.