Bài 2.46 trang 57 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 3; - 1;m và B m;4;m...

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {3; - 1;m} \right)$ và $B\left( {m;4;m} \right)$.

a) Tính côsin của góc $\widehat {AOB}$ theo $m$.

b) Xác định tất cả các giá trị của $m$ để $\widehat {AOB}$ là góc nhọn.

Ý a: Áp dụng công thức tính tính vô hướng của hai vectơ liên hệ với côsin của góc tạo bởi hai vectơ.

Ý b: Tìm m để $\cos in\widehat {AOB} > 0$.

a) Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {3; - 1;m} \right)$ và $\overrightarrow {OB} = \left( {m;4;m} \right)$.

Mặt khác $\widehat {AOB} = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)$, suy ra $\cos in\widehat {AOB} = \cos in\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)$$= \frac{{\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {OB} } \right|}}$

$= \frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\sqrt {10 + {m^2}} \sqrt {2{m^2} + 16} }}$.

b) Để $\widehat {AOB}$ là góc nhọn thì $\cos in\widehat {AOB} > 0$, suy ra $\frac{{{m^2} + 3m - 4}}{{\sqrt {10 + {m^2}} \sqrt {2{m^2} + 16} }} > 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 3m - 4 > 0 \Leftrightarrow m 1$.