Bài 2.43 trang 57 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Trong không gian, cho hai vectơ a và b tạo với nhau một góc bằng 60^...

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ tạo với nhau một góc bằng ${60^ \circ }$. Biết $\left| {\overrightarrow a } \right| = 2$ và $\left| {\overrightarrow b } \right| = 3$, tính $\;\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$ và $\;\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|$.

Tính tích vô hướng $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ sau đó thực hiện bình phương các biểu thức cần tính giá trị và tiếp tục tính toán.

Ta có $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos {60^ \circ } = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$. Ta bình phương $\;\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|$ và $\;\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|$ để tìm giá trị của chúng như sau:

$\;{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 4 + 6 + 9 = 19$ suy ra $\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19}$.

$\;{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2} = 4 - 6 + 9 = 7$ suy ra $\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = \sqrt 7$.