Bài 2.42 trang 57 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Cho hình tứ diện ABCD, chứng minh rằng...

Cho hình tứ diện $ABCD$, chứng minh rằng:

$\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB}$.

Bắt đầu biến đổi từ vế trái từng bước suy ra điều phải chứng minh.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {DB} } \right)\\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \frac{1}{2} \cdot 2\overrightarrow {DB} \\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} .\end{array}$