Đề 2 trang 225 SBT Giải tích 12: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị....

ĐỀ 2.

Câu 1 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (4,5 điểm)

Cho hàm số  $y =  - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} + m - 1$

1) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị. Xác định m để một trong những điểm cực trị đó thuộc trục Ox.

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi $m = {1 \over 3}$

3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng $y = {1 \over 3}x - 2$

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và x = 2.

Hướng dẫn làm bài

1) $y’ = - {x^2} + 2x;y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = 2} \cr} } \right.$

Ta có y’ > 0 với $x \in (0;2)$ và y’ < 0 khi x thuộc các khoảng $( - \infty ;0),(2; + \infty )$. Vậy với mọi m, đồ thị của hàm số luôn có điểm cực tiểu (0; m – 1) và điểm cực đại $(2;m + {1 \over 3})$. Một trong các điểm cực trị nằm trên trục Ox khi và chỉ khi hoặc $m + {1 \over 3} = 0 \Leftrightarrow m =  - {1 \over 3}$  hoặc   $m – 1 = 0  \Leftrightarrow  m = 1.$

2) Với $m = {1 \over 3}$ , ta có  $y =  - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - {2 \over 3}$

3) Hệ số góc của tiếp tuyến là  -3. Hoành độ tiếp điểm thỏa mãn phương trình 

$- {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\Rightarrow  \left[ {\matrix{{{x_1} = - 1} \cr {{x_2} = 3} \cr} } \right.$

Các tung độ của tiếp điểm tương ứng là ${y_1} = {2 \over 3};{y_2} =  - {2 \over 3}$

Vậy ta có hai tiếp tuyến  $y =  - 3x - {7 \over 3}$  và  $y =  - 3x + {{25} \over 3}$

4) Vì I(1; 0) là tâm đối xứng của (C) nên hình phẳng đã cho gồm hai hình đối xứng với nhau qua điểm I (1; 0) . Vậy : $S = 2\int\limits_0^1 {({1 \over 3}{x^3} - {x^2} + {2 \over 3})dx = {5 \over 6}}$ (đơn vị thể tích)

Câu 2 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12 (3 điểm)

1) Giải phương trình ${3^{{x \over 5}}} + {3^{{{x - 10} \over {10}}}} = 84$

2) Giải bất phương trình ${\log _{\sqrt 2 }}(3 - 2x) > 1$

Hướng dẫn làm bài

1) Đặt ${3^{{x \over {10}}}} = t(t > 0)$ , ta có:

${t^2} + {t \over 3} = 84 \Leftrightarrow  3{t^2} + t - 252 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 9} \cr {t = - 9{1 \over 3}(l)} \cr} } \right.$

Như vậy  ${3^{{x \over {10}}}} = {3^2} \Leftrightarrow  x = 20$

2) Điều kiện: $3 - 2x > 0 \Leftrightarrow  x < {3 \over 2}$

Bất phương trình đã cho tương đương với  $3 - 2x > \sqrt 2$

$\Leftrightarrow x < {{3 - \sqrt 2 } \over 2}$  (thỏa mãn điều kiện)

Câu 3 trang 225 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12  (2,5 điểm)

1) Tính tích phân   $\int\limits_0^3 {{{\sqrt {x + 1}  + 2} \over {\sqrt {x + 1}  + 3}}} dx$       (đặt $t = \sqrt {x + 1}$)

2) Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện:

a) $|z + 1| = |z - i|$                      b) $|z{|^2} + 3z + 3\overline z  = 0$

Hướng dẫn làm bài

1) Đặt $t = \sqrt {x + 1} \Rightarrow  {t^2} = x + 1$ . Do đó, $dx = 2tdt$

Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 3 thì t = 2.

Vậy  $I = \int\limits_1^2 {{{(t + 2).2tdt} \over {t + 3}} = } \int\limits_1^2 {(2t - 2 + {6 \over {t + 3}})dt = 1 + 6\ln {5 \over 4}}$

2) a) Giả sử $z = x + yi$. Ta có:  $|x + 1 + yi| = |x + (y - 1)i|$

$\Leftrightarrow |(x + 1) + yi{|^2} = |x + (y - 1)i{|^2}$

$\Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {y^2} = {x^2} + {(y - 1)^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + 1 + 2x + {y^2} = {x^2} + {y^2} + 1 - 2y$

$\Leftrightarrow  2x = -2y \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow  y = -x$

Trên mặt phẳng tọa độ, đó là đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.

Cách 2. Vế phải là khoảng cách từ điểm biểu diễn z tới điểm biểu diễn ${z_0} = 0 + i$, vế trái là khoảng cách từ điểm biểu diễn z tới điểm biểu diễn ${z_1} =  - 1 + 0i$ . Vậy phải tìm các điểm cách đều hai điểm biểu diễn z₀ và z₁

b) Ta có: $|x + yi{|^2} + 3(x + yi) + 3(x - yi) = 0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow  {(x + 3)^2} + {y^2} = 9$

Trên mặt phẳng tọa độ, đó là tập hợp các điểm thuộc đường tròn bán kính bằng 3 và tâm là điểm (-3; 0)