ĐỀ 3 (45 phút)
Câu 1 (5 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) tâm O, AB = 5a , AC = 4a , BC = 3a , khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a. Tính thể tích mặt cầu (S) theo a.
Hướng dẫn làm bài
Tam giác ABC có AB2 = AC2 + BC2 nên nó vuông tại C. Mặt phẳng (ABC) cắt (S) theo đường tròn đường kính AB. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó OI = 2a.
Suy ra \(OB = \sqrt {{{({{5a} \over 2})}^2} + 4{a^2}} = {{\sqrt {41} } \over 2}a\)
Vậy \({V_{(S)}} = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt {41} } \over 2})^3} = {{41\sqrt {41} } \over 6}\pi {a^3}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 2 (5 điểm) trang 67 sách bài tập (SBT) – Hình học 12
Cho hình trụ (H) có chiều cao bằng h, bán kính đường tròn đáy bằng R, O và O’ là tâm của hai đáy. Gọi AB là đường kính thuộc đường tròn đáy (O) , CD là đường kính thuộc đường tròn đáy (O’), góc giữa AB và CD bằng \(\alpha (0 < \alpha \le {90^0})\). Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABCD và khối trụ (H). Xác định \(\alpha \) để tỉ số đó là lớn nhất.
Hướng dẫn làm bài
Thể tích khối trụ (H) là \({V_{(H)}} = \pi {R^2}h\) , thể tích khối tứ diện ABCD là:
\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.\sin \alpha .h = {2 \over 3}{R^2}h\sin \alpha \)
Suy ra: \({{{V_{ABCD}}} \over {{V_{(H)}}}} = {{2\sin \alpha } \over {3\pi }} \le {2 \over {3\pi }}\)
Tỉ số đó là lớn nhất bằng \({2 \over {3\pi }}\) khi \(\alpha = {90^0}\)