Bài tập 4 trang 27 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^3} + 1$...

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^3} + 1$, $y = 2$ và hai đường thẳng $x = - 1$, $x = 2$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^3} + 1$, $y = 2$ và hai đường thẳng $x = - 1$, $x = 2$ là $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^3} + 1} \right) - 2} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 1} \right|dx}$

Ta có ${x^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Do đó:

$S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - 1} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} - 1} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 1} \right)dx} } \right|$

$= \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - x} \right)} \right|_1^2} \right| = \left| { - 2} \right| + \left| {\frac{{11}}{4}} \right| = \frac{{19}}{4}$