Bài tập 8 trang 27 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và chiều...

Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $h$.

Chọn trục $Ox$ sao cho $O$ trùng với đỉnh của khối chóp.

Dựng một mặt phẳng cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$. Mặt phẳng đó cắt khối chóp $O.ABCD$ với mặt cắt là hình vuông $A’B’C’D’$.

Tính độ dài cạnh $A’B’$, sau đó tính diện tích mặt cắt $S\left( x \right) = {S_{A’B’C’D’}}$, từ đó tính thể tích khối chóp tứ giác đều $O.ABCD$ theo công thức $V = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx}$.

Xét khối chóp đều $O.ABCD$ có chiều cao $OH = h$, độ dài cạnh đáy $AB = a$

Chọn trục $Ox$ sao cho $O$ trùng với đỉnh của khối chóp, mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ như hình vẽ.

Dựng một mặt phẳng cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$. Mặt phẳng đó cắt khối chóp $O.ABCD$ với mặt cắt là hình vuông $A’B’C’D’$.

Ta có $\frac{{B’C’}}{{BC}} = \frac{{OB’}}{{OB}} = \frac{{OH’}}{{OH}} = \frac{x}{h} \Rightarrow B’C’ = \frac{a}{h}x$.

Diện tích mặt cắt $A’B’C’D’$ là $S\left( x \right) = {\left( {\frac{a}{h}x} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}$.

Vậy thể tích khối chóp đều $O.ABCD$ là $V = \int\limits_0^h {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}} \right)dx} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{{a^2}h}}{3}$