Bài tập 9 trang 28 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^3}$...

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^3}$, $y = x$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ bằng:

A. $2$

B. $\frac{5}{2}$

C. $\frac{9}{4}$

D. $\frac{1}{4}$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$ và các đường thẳng $x = a$, $x = b$ là $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = {x^3}$, $y = x$ và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 2$ là $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - x} \right|dx}$.

Ta có ${x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm 1$. Do đó:

$S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - x} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - x} \right)dx} } \right| = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2} \right|$

$= \left| { - \frac{1}{4}} \right| + \left| {\frac{9}{4}} \right| = \frac{5}{2}$