Bài tập 10 trang 29 Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Tốc độ chuyển động $v{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ của một ca nô trong khoảng thời gian 40 giây được thể...

Tốc độ chuyển động $v{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ của một ca nô trong khoảng thời gian 40 giây được thể hiện như hình 1. Quãng đường đi được của ca nô trong khoảng thời gian này là:

A. 400 m

B. 350 m

C. 310 m

D. 200 m

Quãng đường đi được của ca nô trong khoảng thời gian 40 giây là $s = \int\limits_0^{40} {v\left( t \right)dt}$.

Viết phương trình hàm $v\left( t \right)$, sau đó tính tích phân $s = \int\limits_0^{40} {v\left( t \right)dt}$.

Đồ thị hàm số $v\left( t \right)$ được chia thành 3 đường thằng $OA$, $AB$, $BC$ như hình dưới đây.

Đường thẳng $OA$ đi qua $O\left( {0;0} \right)$ và $A\left( {8;10} \right)$ nên phương trình đường thẳng $OA$ là $v = \frac{5}{4}t$.

Đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {8;10} \right)$ và $B\left( {30;10} \right)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ là $v = 10$.

Đường thẳng $BC$ đi qua $B\left( {30;10} \right)$ và $C\left( {40;0} \right)$ nên phương trình đường thẳng $BC$ là $v = - t + 40$.

Vậy $v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{4}t{\rm{ }}\left( {0 \le t \le 8} \right)\\10{\rm{ }}\left( {8 \le t \le 30} \right)\\ - t + 40{\rm{ }}\left( {30 \le t \le 40} \right)\end{array} \right.$.

Do đó, quãng đường ca nô đi được trong 40 giây là

$s = \int\limits_0^{40} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^8 {v\left( t \right)dt} + \int\limits_8^{30} {v\left( t \right)dt} + \int\limits_{30}^{40} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^8 {\frac{5}{4}tdt} + \int\limits_8^{30} {10dt} + \int\limits_{30}^{40} {\left( { - t + 40} \right)dt}$

$= \frac{5}{4}\left. {\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right)} \right|_0^8 + 10\left. {\left( t \right)} \right|_8^{30} + \left. {\left( { - \frac{{{t^2}}}{2} + 40t} \right)} \right|_{30}^{40} = \frac{5}{4}.32 + 10.22 + 50 = 310$ (m).

Đáp án đúng là C