Câu hỏi Khám phá 1 trang 21 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Gọi $d$ là đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right) = 6 - 2x$...

Gọi $d$ là đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right) = 6 - 2x$. Kí hiệu ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$, trục hoành và trục tung; ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$, trục hoành và đường thẳng $x = 5$ (Hình 1).

a) Tính ${S_1}$ và so sánh với $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$.

b) Tính ${S_2}$ và so sánh với $\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx}$.

c) So sánh $\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$ với ${S_1} + {S_2}$.

a) Theo hình vẽ, ${S_1}$ là diện tích tam giác $OAB$. Tính diện tích tam giác $OAB$, sau đó tính tích phân $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$ và so sánh các kết quả thu được.

b) Theo hình vẽ. ${S_2}$ là diện tích tam giác $CBM$. Tính diện tích tam giác $CBM$, sau đó tính tích phân $\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx}$ và so sánh các kết quả thu được.

c) Tính $\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$, sau đó phá dấu giá trị tuyệt đối và tính các tích phân cơ bản, sau đó so sánh kết quả thu được với ${S_1} + {S_2}$.

a) Tam giác $OAB$ vuông tại $O$, ta có $OA = 6$, $OB = 3$. Diện tích tam giác $OAB$ là:

${S_1} = \frac{{OA.OB}}{2} = \frac{{6.3}}{2} = 9$.

Ta có $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 = 9 - 0 = 9$.

Như vậy ${S_1} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$

b) Tam giác $CBM$ vuông tại $M$, ta có $MB = 2$, $MC = 4$. Diện tích tam giác $CBM$ là:

${S_2} = \frac{{MB.MC}}{2} = \frac{{2.4}}{2} = 4$.

Ta có $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_3^5 {\left( {6 - 2x} \right)dx} = \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_3^5 = 5 - 9 = - 4$.

Như vậy ${S_2} = - \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx}$

c) Ta có:

$\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_0^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left| {6 - 2x} \right|dx} + \int\limits_3^5 {\left| {6 - 2x} \right|dx} = \int\limits_0^3 {\left( {6 - 2x} \right)dx} + \int\limits_3^5 {\left( {2x - 6} \right)dx}$

$= \left. {\left( {6x - {x^2}} \right)} \right|_0^3 + \left. {\left( {{x^2} - 6x} \right)} \right|_3^5 = \left( {9 - 0} \right) + \left[ {\left( { - 5} \right) - \left( { - 9} \right)} \right] = 13$

Như vậy $\int\limits_0^5 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = 13 = {S_1} + {S_2}$.