Câu hỏi/bài tập:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).
Advertisements (Quảng cáo)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\), \(x = 3\) là \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} \)
Ta có \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).
Với \(x \in \left[ {0;2} \right]\) thì \(2x - {x^2} \ge 0\). Với \(x \in \left[ {2;3} \right]\) thì \(2x - {x^2} \le 0\).
Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left| {2x - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx} \)
\( = \left. {\left( {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|_2^3 = \left( {\frac{4}{3} - 0} \right) + \left[ {0 - \left( { - \frac{4}{3}} \right)} \right] = \frac{8}{3}\)