Câu hỏi Khám phá 3 trang 24 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Trong không gian, cho hình chóp $O. ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $OA \bot \left( {ABCD} \right)$, $OA = h$...

Trong không gian, cho hình chóp $O.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $OA \bot \left( {ABCD} \right)$, $OA = h$. Đặt trục số $Ox$ như hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {0 < x \le h} \right)$, cắt hình chóp $O.ABCD$ theo mặt cắt là hình vuông $A'B'C'D'$. Kí hiệu $S\left( x \right)$ là diện tích của hình vuông $A'B'C'D'$.

a) Tính $S\left( x \right)$ theo $a$, $h$ và $x$.

b) Tính $\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx}$ và so sánh với thể tích của khối chóp $O.ABCD$.

a) Do $A’B’C’D’$ là hình vuông, nên $S\left( x \right) = A’D{‘^2}$

Tam giác $OAD$ có $AD\parallel A’D’$ nên $\frac{{OA’}}{{OA}} = \frac{{A’D’}}{{AD}}$, từ đó tính được $A’D’$, sau đó tính $S\left( x \right)$.

b) Tính $\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx}$ và thể tích khối chóp $O.ABCD$ và so sánh các kết quả với nhau.

a) Do $A’B’C’D’$ là hình vuông, nên $S\left( x \right) = A’D{‘^2}$

Tam giác $OAD$ có $AD\parallel A’D’$ nên $\frac{{OA’}}{{OA}} = \frac{{A’D’}}{{AD}} \Rightarrow A’D’ = \frac{{OA’.AD}}{{OA}} = \frac{{x.a}}{h}$

Suy ra $S\left( x \right) = A’D{‘^2} = {\left( {\frac{{x.a}}{h}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}$

b) Ta có: $\int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\int\limits_0^h {{x^2}dx} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{{a^2}h}}{3}$

Thể tích khối chóp $O.ABCD$ là ${V_{O.ABCD}} = \frac{1}{3}.{a^2}.h = \frac{{{a^2}h}}{3}$

Như vậy ${V_{O.ABCD}} = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx}$