Hoạt động2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 77 SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Trong tình huống mở đầu, gọi \({y_1},{y_2},...,{y_{30}}\) là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 (mẫu số liệu gốc).
a) Có thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc hay không?
b) Tìm tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) và thứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) cho mẫu số liệu ghép nhóm.
c) Hãy đưa ra một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.
+ Sử dụng kiến thức về tính chất về nhóm chứa tứ phân vị của mẫu số liệu để tính: Ta có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng \(\left( {\frac{{r.n}}{4}} \right)\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.
+ Sử dụng kiến thức về tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Tứ phân vị thứ r là \({Q_r} = {a_p} + \frac{{\frac{{r.n}}{4} - \left( {{m_1} + ... + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\), trong đó \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ r với \(r = 1,2,3\).
a) Không thể tính chính xác khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.
b) Cỡ mẫu \(n = 30\). Giả sử \({y_1},{y_2},...,{y_{30}}\) là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(2 + 3 < 7,5 < 2 + 3 + 4\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {32;34} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - \left( {2 + 3} \right)}}{4}.\left( {34 - 32} \right) = 33,25\)
Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(2 + 3 + 4 + 11 < 22,5 < 2 + 3 + 4 + 11 + 8\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {36;38} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 36 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {2 + 3 + 4 + 11} \right)}}{8}.\left( {38 - 36} \right) = 36,625\)
c) Một giá trị xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc là: \(36,625 - 33,25 = 3,375\)
Luyện tập2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 78SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
+Sử dụng kiến thức về tính chất về nhóm chứa tứ phân vị của mẫu số liệu để tính: Ta có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng \(\left( {\frac{{r.n}}{4}} \right)\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.
+ Sử dụng kiến thức về khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({\Delta _Q}\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:
Cỡ mẫu \(n = 80\). Giả sử \({x_1},{x_2},...,{x_{80}}\) là thời gian đàm thoại của 80 cuộc gọi và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Vì \(\frac{n}{4} = 20\) và \(8 < 20 < 8 + 17\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {1;2} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 1 + \frac{{\frac{{80}}{4} - 8}}{{17}}.1 = \frac{{29}}{{17}}\)
Vì \(\frac{{3n}}{4} = 60\) và \(8 + 17 + 25 < 20 < 8 + 17 + 25 + 20\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {3;4} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 3 + \frac{{\frac{{3.80}}{4} - \left( {8 + 17 + 25} \right)}}{{20}}.1 = 3,5\)
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(3,5 - \frac{{29}}{{17}} = \frac{{61}}{{34}}\)
Vận dụng
Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 78SGK Toán 12 Kết nối tri thức
Hãy giải bài toán trong tình huống mở đầu bằng cách sử dụng khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm.
Sử dụng kiến thức về khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm để tính:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \(R = {a_{k + 1}} - {a_1}\).
+Sử dụng kiến thức về tính chất về nhóm chứa tứ phân vị của mẫu số liệu để tính: Ta có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất: có khoảng \(\left( {\frac{{r.n}}{4}} \right)\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.
+ Sử dụng kiến thức về khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm để tính: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \({\Delta _Q}\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Năm 2021: Khoảng biến thiên của nhiệt độ là: \({R_1} = 40 - 30 = 10\)
Cỡ mẫu \(n = 30\). Giả sử \({y_1},{y_2},...,{y_{30}}\) là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2021 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(2 < 7,5 < 2 + 8\) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm \(\left[ {32;34} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 2}}{8}.2 = 33,375\)
Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(2 + 8 + 5 + 6 < 22,5,5 < 2 + 8 + 5 + 6 + 9\) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm \(\left[ {38;40} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = 38 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {2 + 8 + 5 + 6} \right)}}{9}.2 = \frac{{115}}{3}\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_1}}} = \frac{{115}}{3} - 33,375 = \frac{{119}}{{24}}\)
Năm 2022: Khoảng biến thiên của nhiệt độ là: \({R_2} = 40 - 28 = 12\)
Cỡ mẫu \(n = 30\). Giả sử \({z_1},{z_2},...,{z_{30}}\) là nhiệt độ cao nhất trong ngày của 30 ngày tháng Sáu năm 2022 và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Vì \(\frac{n}{4} = \frac{{30}}{4} = 7,5\) và \(2 + 3 < 7,5 < 2 + 3 + 4\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm \(\left[ {32;34} \right)\) và tứ phân vị thứ nhất là: \(Q{‘_1} = 32 + \frac{{\frac{{30}}{4} - \left( {2 + 3} \right)}}{4}.\left( {34 - 32} \right) = 33,25\)
Vì \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.30}}{4} = 22,5\) và \(2 + 3 + 4 + 11 < 22,5 < 2 + 3 + 4 + 11 + 8\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm \(\left[ {36;38} \right)\) và tứ phân vị thứ ba là: \(Q{‘_3} = 36 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {2 + 3 + 4 + 11} \right)}}{8}.\left( {38 - 36} \right) = 36,625\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _{{Q_2}}} = 36,625 - 33,25 = 3,375\)
Theo khoảng biến thiên: Vì \({R_2} > {R_1}\) nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021.
Theo khoảng tứ phân vị: Vì \({\Delta _{{Q_1}}} > {\Delta _{{Q_2}}}\) nên nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2021 biến đổi nhiều hơn nhiệt độ cao nhất trong ngày vào tháng 6 năm 2022.