Câu hỏi/bài tập:
Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng 2∫1exxdx với độ chính xác 0,01.
Sử dụng kiến thức về phương pháp hình thang để tính:
Giả sử hàm số f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó:
b∫af(x)dx≈b−a2n[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+...+2f(xn−1)+f(xn)], ở đó đoạn [a; b] được chia thành n đoạn con [x0;x1],[x1;x2],...,[xn−1,xn], mỗi đoạn có độ dài là Δx=b−an.
Thuật toán: Để tính xấp xỉ b∫af(x)dx với độ chính xác không vượt quá số ε cho trước, ta thực hiện lần lượt các bước sau:
Bước 1: Tính f’’(x) và tìm M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f”\left( x \right)} \right| (hoặc đánh giá \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {a;b} \right]} \left| {f”\left( x \right)} \right| \le M nếu việc tìm chính xác là khó).
Bước 2. Với sai số \varepsilon cho trước, tìm số tự nhiên n (nhỏ nhất) sao cho \left| E \right| \le \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^3}M}}{{12{n^2}}} < \varepsilon
Bước 3. Chia đoạn [a; b] thành n đoạn con có độ dài bằng nhau và áp dụng công thức hình thang.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: f’\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}}}{x}} \right)’} = \frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}}, f”\left( x \right) = {\left( {\frac{{{e^x}.x - {e^x}}}{{{x^2}}}} \right)} = \frac{{{e^x}.{x^3} - 2{x^2}.{e^x} + 2x.{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}}{{{x^3}}}
f”’\left( x \right) = \frac{{ - 6.{e^x} + 6x.{e^x} - 3{x^2}{e^x} + {x^3}{e^x}}}{{{x^4}}} = \frac{{{e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right)}}{{{x^4}}}
f”’\left( x \right) = 0 thì x \approx 1,596
Ta có: f”\left( 1 \right) = e,f”\left( {1,569} \right) = \frac{{1,355216{e^{1,569}}}}{{1,{{569}^3}}},f”\left( 2 \right) = \frac{{{e^2}}}{4}
Do đó, M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} \left| {f”\left( x \right)} \right| = \left| {f’\left( 2 \right)} \right| = \frac{{{e^2}}}{4}
Ta cần tìm n sao cho: \frac{{{{\left( {2 - 1} \right)}^3}.\frac{{{e^2}}}{4}}}{{12{n^2}}} < 0,01 \Leftrightarrow \frac{{{e^2}}}{{48{n^2}}} \frac{{5e}}{{2\sqrt 3 }}
Do đó, ta chọn n = 5
Chia đoạn [1; 2] thành 5 đoạn bằng nhau là [1; 1,2], [1,2; 1,4], [1,4; 1,6], [1,6; 1,8], [1,8; 2].
Áp dụng công thức hình thang ta có:
\int\limits_1^2 {\frac{{{e^x}}}{x}dx} \approx \frac{{2 - 1}}{{10}}\left( {\frac{{{e^1}}}{1} + \frac{{2{e^{1,2}}}}{{1,2}} + \frac{{2{e^{1,4}}}}{{1,4}} + \frac{{2{e^{1,6}}}}{{1,6}} + \frac{{2{e^{1,8}}}}{{1,8}} + \frac{{{e^2}}}{2}} \right) \approx 3,065