Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và mặt phẳng \(\left( P \right)...

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):Ax + By + Cz + D = 0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)$. Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P). (H.5.13)

a) Giải thích vì sao tồn tại số k để $\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n$. Tính tọa độ của N theo k, tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

b) Thay tọa độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right|$, hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo tọa độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

a) Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) nên $MN \bot \left( P \right)$. Mà $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow n$ cùng phương. Do đó, tồn tại số k để $\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow n$. Suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}{x_N} - {x_M} = kA\\{y_N} - {y_M} = kB\\{z_N} - {z_M} = kC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = kA + {x_0}\\{y_N} = kB + {y_0}\\{z_N} = kC + {z_0}\end{array} \right.$ nên $N\left( {kA + {x_0};kB + {y_0};kC + {z_0}} \right)$

b) Thay $x = kA + {x_0};y = kB + {y_0};z = kC + {z_0}$ vào phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ ta có: $A\left( {kA + {x_0}} \right) + B\left( {kB + {y_0}} \right) + C\left( {kC + {z_0}} \right) + D = 0$

$\Leftrightarrow k{A^2} + A{x_0} + k{B^2} + B{y_0} + k{C^2} + C{z_0} + D = 0$

$\Leftrightarrow k\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) + A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0$$\Leftrightarrow k = \frac{{ - \left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}$

c) Ta có: $\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}$ nên $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| k \right|\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}}$ $= \sqrt {\frac{{{{\left( {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right)}^2}\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}}{{{{\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right)}^2}}}}$$= \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Do đó, công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là:

$d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$