Bài 1 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho . Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Tính bán kính mặt cầu đó...

Bài 1. Trong không gian cho ba đoạn thẳng $AB, BC, CD$ sao cho $AB \bot BC\,\,\,\,BC \bot CD\,\,\,\,CD \bot AB$ . Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm $A, B, C, D$. Tính bán kính mặt cầu đó nếu $AB = a\,\,\,\,BC = b\,\,\,\,CD = c$ .

Vì $AB \bot BC$ và $AB \bot CD$ nên $AB \bot \left( {BCD} \right)$. Suy ra $AB \bot BD$

Vì $CD \bot BC$ và $CD \bot AB$ nên $CD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CD \bot AC$

Gọi $I$ là trung điểm $AD$, ta có $IB = IA = ID = IC$ nên các điểm $A, B, C, D$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính $AD$.

Mặt khác ta có: $A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}$

Do đó bán kính mặt cầu là $R = {1 \over 2}AD = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$