Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Nâng cao Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao, Xác định...

Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao, Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC...

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Bài 2 trang 63 SGK Hình học 12 Nâng cao – Ôn tập chương II – Mặt cầu mặt trụ mặt nón

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 2. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\), biết \(SA = SB = SC = a\), \(\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\).


Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(SAB, SAC\) ta có:

\(\eqalign{
& A{B^2} = S{A^2} + S{B^2} – 2SA.SB.\cos {60^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} – 2{a^2}.{1 \over 2} = {a^2} \Rightarrow AB = a \cr
& A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} – 2SA.SC.\cos {120^0} \cr
& = {a^2} + {a^2} – 2{a^2}\left( { – {1 \over 2}} \right) = 3{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \cr} \)

Trong tam giác vuông \(SBC\) có: \(B{C^2} = S{B^2} + S{C^2} = 2{a^2} \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \)

Ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\).

Advertisements (Quảng cáo)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) thì \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì \(SA = SB = SC\) nên \(SH \bot mp\left( {ABC} \right)\)

Và \(S{H^2} = S{C^2} – H{C^2} = {a^2} – {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = {{{a^2}} \over 4} \Rightarrow SH = {a \over 2}\)

Gọi \(O\) là điểm đối xứng của \(S\) qua \(H\) thì \(SO = OA = OB = OC = a\) nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) có tâm \(O\) và bán kính \(R = a\).