Bài 9 trang 123 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng có phương trình Viết phương trình hình chiếu của trên các mặt phẳng tọa độ. b) Chứng minh...

Bài 9. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình ${{x - 1} \over 2} = {{y + 1} \over { - 1}} = {z \over 3}.$
a) Viết phương trình hình chiếu của $\Delta$ trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng $x + 5y + z + 4 = 0$ đi qua đường thẳng $\Delta$.
c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta$ và các trục tọa độ.
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta ‘:x = y = z.$
e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả $\Delta$ và ’$\Delta ‘$.

a) Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số là:

$\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 3t \hfill \cr} \right.$

Vì điểm M(x, y, z) có hình chiếu trên (Oxy) là M’(x, y, 0) nên hình chiếu ${d_1}$ của $\Delta$ trên (Oxy) có phương trình tham số là 

$\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 + t \hfill \cr z = 0 \hfill \cr} \right.$

Hình chiếu ${d_2}$ của $\Delta$ trên (Oyz) là

$\left\{ \matrix{ x = 0 \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 3t \hfill \cr} \right..$

Hình chiếu ${d_3}$ của $\Delta$ trên (Oxz) là 

$\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 3t \hfill \cr} \right..$

b) Lấy điểm $M\left( {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right) \in \Delta ,$ thay tọa độ của M vào phương trình $mp\left( \alpha  \right)$ ta có:
$1 + 2t - 5\left( {1 + t} \right) + 3t + 4 = 0 \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right).$
Vậy $\Delta  \subset \left( \alpha  \right),$ tức $mp\left( \alpha  \right)$ đi qua $\Delta$.
c) $\Delta$ qua điểm $M\left( {1; - 1;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;3} \right).$
Đường thẳng chứa trục Ox qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)$.
Khoảng cách giữa $\Delta$ và trục Ox là:

${h_1} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{3\sqrt {10} } \over {10}}.$

Khoảng cách giữa $\Delta$ và trục Oy là:

${h_2} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = {{3\sqrt {13} } \over {13}}.$

Khoảng cách giữa $\Delta$ và trục Oz là:

${h_3} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right]} \right|}} = {{\left| 1 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{\sqrt 5 } \over 5}.$

d) Lấy $P\left( {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right) \in \Delta ,\,\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;3} \right).$
$Q\left( {t’,t’,t’} \right) \in \Delta ‘,\,\,\Delta ‘$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {u’} \left( {1;1;1} \right).$
Ta có $\overrightarrow {QP}  = \left( {1 + 2t - t’, - 1 - t - t’,3t - t’} \right).$

PQ là đường vuông góc chung của $\Delta$ và $\Delta ‘$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {PQ}  \bot \overrightarrow u$ và $\overrightarrow {PQ}  \bot \overrightarrow {u’} ,$ tức là:

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ \overrightarrow {QP} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr \overrightarrow {QP} .\overrightarrow {u’} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2\left( {1 + 2t - t’} \right) - \left( { - 1 - t - t’} \right) + 3\left( {3t - t’} \right) = 0 \hfill \cr 1 + 2t - t’ - 1 - t - t’ + 3t - t’ = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 14t - 4t’ = - 3 \hfill \cr 4t - 3t’ = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = - {9 \over {26}} \hfill \cr t’ = - {6 \over {13}} \hfill \cr} \right.. \cr}$

Do đó $Q\left( { - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}} \right)$ và $\overrightarrow {QP}  = \left( {{{20} \over {16}},{{ - 5} \over {16}},{{ - 15} \over {16}}} \right) = {5 \over {16}}\left( {4; - 1; - 3} \right).$

Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow v  = \left( {4; - 1; - 3} \right).$ Do đó PQ có phương trình tham số là: 

$\left\{ \matrix{ x = - {6 \over {13}} + 4t \hfill \cr y = - {6 \over {13}} - t \hfill \cr z = - {6 \over {13}} - 3t \hfill \cr} \right..$

e) Lấy điểm $P\left( {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right) \in \Delta .$

$Q\left( {t’,t’,t’} \right) \in \Delta ‘.$

PQ // Oz $\Leftrightarrow \overrightarrow {QP}$ cùng phương với 

$\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 1 + 2t - t’ = 0 \hfill \cr - 1 - t - t’ = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ t = - {2 \over 3} \hfill \cr t’ = - {1 \over 3}. \hfill \cr} \right.$

Vậy PQ đi qua $Q\left( { - {1 \over 3}, - {1 \over 3}, - {1 \over 3}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$ nên PQ có phương trình tham số là: 

$\left\{ \matrix{ x = - {1 \over 3} \hfill \cr y = - {1 \over 3} \hfill \cr z = - {1 \over 3} + t \hfill \cr} \right..$