Bài 12 trang 93 SGK Hình học 12: rong hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A(1 ; -2 ; -5)...

Bài 12. Trong hệ toạ độ $Oxyz$, tìm toạ độ điểm $A’$ đối xứng với điểm $A(1 ; -2 ; -5)$ qua đường thẳng $∆$ có phương trình

$\left\{ \matrix{ x = 1 + 2t \hfill \cr y = - 1 - t \hfill \cr z = 2t. \hfill \cr} \right.$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $△$. Khi đó $H$ là trung điểm của $AA’$.

Xét mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và $(P) ⊥ △$. Khi đó $H = (P) ⋂ △$.

Vì $\overrightarrow u (2; -1; 2)$ là vectơ chỉ phương của $△$ nên $\overrightarrow u$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng: $2(x - 1) - (y + 2) + 2(z + 5) = 0$

hay $2x - y + 2z + 6 = 0$                                                          (1)

Để tìm giao điểm $H = (P) ⋂ △$. Thay toạ độ $x, y, z$ trong phương trình của $△$ vào (1), ta có: $2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0$

$\Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow  t = -1$ $\Rightarrow  H(-1; 0; -2)$.

Từ đó ta tìm được $A'(-3; 2; 1)$