Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :
Δ:{x=3+ty=−1+2tz=4
Gọi \Delta ‘ là giao tuyến của 2 mặt phẳng:
(\alpha ):x - 3y + z = 0 và (\alpha ‘):x + y - z + 4 = 0
và điểm M0 (1; 1; 2).
a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng \Delta và \Delta ‘ .
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa \Delta ‘ song song với \Delta .
c) Viết phương trình mặt phẳng qua M0 và vuông góc với \Delta .
d) Viết phương trình đường thẳng qua M0, cắt cả \Delta và \Delta ‘ .
e) Tính khoảng cách giữa \Delta và \Delta ‘ .
f) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của \Delta và \Delta ‘ .
a) Đường thẳng \Delta đi qua {N_o}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right) và có vectơ chỉ phương \overrightarrow u \left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}0} \right).
Đường thẳng \Delta ‘ đi qua N_o'( - 2;{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}2) và có vectơ chỉ phương
\overrightarrow {u’} = \left( {\left| {\matrix{ { - 3} & 1 \cr 1 & { - 1} \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & 1 \cr { - 1} & 1 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 1 & { - 3} \cr 1 & 1 \cr } } \right|} \right) = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right)
Ta có \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = {\rm{ }}\left( {8{\rm{ }};{\rm{ }} - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right),\overrightarrow {{N_o}N_o’} = {\rm{ }}\left( { - 5{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right), suy ra
\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {{N_o}N_o’} = {\rm{ }}8\left( { - 5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { - 4} \right).{\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}2\left( { - 2} \right){\rm{ }}
= {\rm{ }} - 40{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0.
Vậy \Delta và \Delta ’ chéo nhau.
b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa \Delta ’ và song song với \Delta , khi đó (P) đi qua điểm N_o’\left( { - 2;0;2} \right) \in \Delta ‘ và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow {{n_P}} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \left( {4; - 2; - 1} \right).
Vậy phương trình mp(P) là :
4\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} - 2(y - {\rm{ }}0){\rm{ }} - {\rm{ 1}}\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 hay 4x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - z{\rm{ }} + {\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0.
c) Gọi d là mặt phẳng qua {M_o}\left( {{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right) và vuông góc với \Delta . Khi đó, (Q) nhận vectơ \overrightarrow u = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right) làm vectơ pháp tuyến. Vậy (Q) có phương trình :
1{\rm{ }}\left( {x - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 hay x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.
d) Gọi d là đường thẳng qua Mo, cắt cả \Delta và \Delta ’. Khi đó, d là giao tuyến của hai mặt phẳng \left( \beta \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta ) và \left( {\beta ‘} \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta ‘)
Advertisements (Quảng cáo)
Mặt phẳng \left( \beta \right) đi qua {M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {{M_o}{N_o}} ,\overrightarrow u } \right].
Ta có \overrightarrow {{M_o}{N_o}} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right),\overrightarrow u = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right), suy ra
\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {\left| {\matrix{ { - 2} & 2 \cr 2 & 0 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 2 & 2 \cr 0 & 1 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 2 & { - 2} \cr 1 & 2 \cr } } \right|} \right) = {\rm{ }}\left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right).
Vậy phương trình mp(\beta ) là :
- 4(x - 1) + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 hay - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.
Mặt phẳng (\beta ) đi qua {M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow {{n_{\beta ‘}}} = \left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o’} ,\overrightarrow {u’} } \right].
Ta có \overrightarrow {{M_o}N_o’} = {\rm{ }}\left( { - 3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\overrightarrow {u’} {\rm{ }} = {\rm{ }}(2;{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}4), suy ra
\left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o’} ,\overrightarrow {u’} } \right] = \left( {\left| {\matrix{ { - 1} & 0 \cr 2 & 4 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ 0 & { - 3} \cr 4 & 2 \cr } } \right|;\left| {\matrix{ { - 3} & { - 1} \cr 2 & 2 \cr } } \right|} \right)
= \left( { - 4;12; - 4} \right).
Ta chọn một vectơ pháp tuyến khác của (\beta ‘) là (1 ; -3 ; 1), từ đó (\beta ‘) có phương trình là :
1.(x - {\rm{ }}1){\rm{ }} - {\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right) + 1\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right) = 0 hay x - {\rm{ }}3y + z = 0.
Dễ thấy rằng đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + 3z - 5 = {\rm{ }}0 và x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}0 thoả mãn bài toán. Do đó, phương trình tham số của d là
\left\{ \matrix{ x = {\rm{ }} - 3{\rm{ }} + {\rm{ }}2t \hfill \cr \;y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + t \hfill \cr {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}t. \hfill \cr} \right.
Dễ thấy d cắt cả \Delta và \Delta ’.
e) d\left( {\Delta ,\Delta ‘} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right].\overrightarrow {{N_o}N_o’} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right]} \right|}} = {{20} \over {\sqrt {21} }}.
g) Gọi đường vuông góc chung của \Delta và \Delta ’ là \delta . Khi đó, vectơ chỉ phương của \delta là \overrightarrow {{u_\delta }} = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u’} } \right] = \left( {4; - 2; - 1} \right).
Gọi ({\beta _1}) là mp\left( {\Delta ,\delta } \right) thì ({\beta _1}) đi qua No và có vectơ pháp tuyến
\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_\delta }} } \right] = \left( { - 2;1; - 10} \right).
Vậy phương trình của ({\beta _1}) là
- 2(x - {\rm{ }}3){\rm{ }} + {\rm{ }}1\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - 10\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 hay 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + 10z{\rm{ }} - {\rm{ }}47{\rm{ }} = {\rm{ }}0.
Gọi ({\beta _2}) là mp\left( {\Delta ‘,\delta } \right) thì ({\beta _2}) đi qua N_o’ và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow {{n_2}} = \;\left[ {\overrightarrow {u’} ,\overrightarrow {{u_\delta }} } \right]\; = {\rm{ }}\left( {6;{\rm{ }}18;{\rm{ }} - {\rm{ }}12} \right).
Vậy ({\beta _2}) có phương trình là
({\beta _2}) : x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.
Do đó, đường vuông góc chung \delta của \Delta và \Delta ’ là giao tuyến của hai mặt phẳng :2x - {\rm{ }}y + 10z - {\rm{ }}47 = {\rm{ }}0 và x{\rm{ }} + 3y - 2z + 6 = {\rm{ }}0.
Phương trình tham số của \delta là \left\{ \matrix{ x = {{23} \over 7} - 4t \hfill \cr y = - {3 \over 7} + 2t \hfill \cr z{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + t. \hfill \cr} \right.