Bài 4 trang 50 SGK Hình học 12: Ôn tập chương II - Mặt nón mặt trụ mặt cầu...

Bài 4. Hình chóp $S.ABC$ có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh $SA, SB, SC$ và tiếp xúc với ba cạnh $AB, BC, CA$ tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Gọi $M, N, P$ theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $SA, SB, SC$; $D, E, F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CA$, các điểm $D, E, F$ đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh $AB, BC, CA$.

Ta có:      $AD = AF  \Rightarrow AB = AC$

                $BD = BE \Rightarrow  BC = AB$

$\Rightarrow  AB = BC = CA$

$\Rightarrow  △ABC$ là tam giác đều...                      (1)

Ta lại có $AM = AD; BN = BD = AD$

và            $SM = SN = SP$

           $\Rightarrow  SM + AM = SN + NB$

           $\Rightarrow  SA = SB$

Chứng minh tương tự ta có: $SA = SB = SC$.

Gọi $H$ là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh $S$, ta có:

$△SHA = △SHB =△SHC$$\Rightarrow  HA = HB = HC$

$\Rightarrow H$ là tâm của tam giác đều $ABC$           (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều.