Bài 5 trang 50 Hình học 12: Cho tứ diện đều ABCD cạnh Gọi H là hình chiếu vuông góc...

Bài 5. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của đỉnh $A$ xuống mặt phẳng $(BCD)$.

a) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Tính độ dài đoạn $AH$.

b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác $BCD$ và chiều cao $AH$.

a) Ta biết rằng tứ diện đều là tứ diện có $6$ cạnh đều bằng nhau.

Vì $AB = AC = AD$ và $AH \bot (BCD)$ nên có $HB = HC = HD$.

Vậy $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $BCD$.

Ta có $BH = {2 \over 3}BI = {{a\sqrt 3 } \over 3}$;

Do tam giác $ABH$ vuông tại $H$ nên : $A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}={a^2} - {{{a^2}} \over 3} = {2 \over 3}{a^2}$ .

Vậy $AH = {{\sqrt 6 } \over 3}a$

b) Vì tam giác $BCD$ đều cạnh $a$, nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R = BH = {{a\sqrt 3 } \over 3}$ . Vì vậy diện tích xung quanh của hình trụ là:

$S = 2\pi Rh = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{2\sqrt 2 } \over 3}\pi {a^2}$ (đtdt).

Thể tích khối trụ là: $V = \pi {R^2}h = \pi {{{a^2}} \over 3}.{{\sqrt 6 } \over 3}a = {{\sqrt 6 } \over 9}\pi {a^3}$ (đtdt)