Cho tam giác ABC có \(\widehat {A{}^{}} = {110^o}\) và \(\widehat B = \widehat C\) . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho \(\widehat {A{\rm{D}}C} = {105^o}\). Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Chứng minh:
a) AE < CE;
b) EC < BC < BE.
- Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ACE để chúng minh
AE < CE.
- Áp dụng mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác BEC để chứng minh
EC < BC < BE.
•Xét ∆ACB có: \(\widehat {BAC} + \widehat {BCA} + \hat B = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat {BAC} = 110^\circ ,\)\(\widehat B = \widehat {ACB}\) (giả thiết)
Suy ra \(\hat B = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ - 110^\circ }}{2} = 35^\circ \)
Advertisements (Quảng cáo)
•Ta có \(\widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Suy ra \(\widehat {CAE} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) .
• Do AD // EC (giả thiết) nên \(\widehat {ADC} + \widehat {ECD} = {180^o}\) (hai góc trong cùng phía).
Suy ra \(\widehat {ECD} = {180^o} - \widehat {ADC} = {180^o} - {105^o} = {75^o}.\)
Lại có \(\widehat {ACB} + \widehat {ACE} = \widehat {ECD}\) (hai góc kề nhau)
Do đó \(\widehat {ACE} = \widehat {ECD} - \widehat {ACB} = 75^\circ - {35^o} = 40^\circ .\)
• Trong ∆ACE có: \(\widehat {ACE} < \widehat {CAE}\) (do 40° < 70°)
Do đó AE < CE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).
Vậy AE < CE.
b) Xét ∆EBC có: \(\hat E + \widehat {BCE} + \hat B = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat {BCE} = 75^\circ ,\hat B = 35^\circ \)
Suy ra \(\hat E = 180^\circ - \hat B - \widehat {BCE} = 180^\circ - 35^\circ - 75^\circ = 70^\circ \)
Trong tam giác BCE có: \(\hat B < \hat E < \widehat {BCE}\) (do 35° < 70° < 75°).
Nên EC < BC < BE (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn).
Vậy EC < BC < BE.