Bài 17 trang 71 SBT Toán 7 Cánh diều: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi...

Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác ABC để chứng minh $A{\rm{D}} < \frac{{AB + AC + BC}}{2}$

Xét ∆ABD có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét ∆ACD có AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

AD + AD < AB + BD + AC + DC

2AD < AB + AC + (BD + DC)

2AD < AB +AC +BC

Suy ra: $A{\rm{D}} < \frac{{AB + AC + BC}}{2}$

Mà$\frac{{AB + AC + BC}}{2}$  là chu vi của tam giác ABC.

Vậy AD luôn nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.