Bài 18 trang 71 SBT Toán lớp 7 Cánh diều: Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng (fra...

Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c với $a \ge b \ge c$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh $\frac{{a + b + c}}{3} \le a \le \frac{{a + b + c}}{2}$

Giả sử độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c với a ≥ b ≥ c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có a < b + c.

Suy ra a + a < a + b + c.

Hay $a < \frac{{a + b + c}}{2}$ (1)

Vì a ≥ b, a ≥ c nên a + a + a ≥ a + b + c.

Hay 3a ≥ a + b + c.

Do đó $a \ge \frac{{a + b + c}}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{{a + b + c}}{3} \le a \le \frac{{a + b + c}}{2}$

Mà chu vi của tam giác này là a + b + c.

Vậy trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$ chu vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.