Bài 26 trang 46 SBT Toán 7 Cánh diều: Tìm các đa thức P(x) và Q(x), biết P(...

Tìm các đa thức P(x) và Q(x), biết P(x) + Q(x) = x²+ 1 và P(x) - Q(x) = 2x.

Bước 1: Biểu diễn đa thức P(x) theo Q(x) hoặc ngược lại từ một trong hai giả thiết

Bước 2: Thay đa thức P(x) hoặc Q(x) được biểu diễn từ bước 1 vào giả thiết còn lại rồi tìm đa thức tương ứng

Bước 3: Tìm đa thức P(x) hoặc Q(x) từ đa thức đã tìm được ở bước 2

Ta có: P(x) - Q(x) = 2x $\Rightarrow Q(x) = P(x) - 2x$. Khi đó P(x) + Q(x) = x²+ 1 $\Leftrightarrow P(x) + \left( {P(x) - 2x} \right) = {x^2} + 1$

                                                                        $\Leftrightarrow 2.P(x) - 2x = {x^2} + 1$

                                                                        $\Leftrightarrow 2.P(x) = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow P(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2}$

Với $P(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2}$ thì $Q(x) = P(x) - 2x = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2}} \right) - 2x = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2} - 2x = \frac{1}{2}{x^2} - x + \frac{1}{2}$

Vậy $P(x) = \frac{1}{2}{x^2} + x + \frac{1}{2},Q(x) = \frac{1}{2}{x^2} - x + \frac{1}{2}$