Cho tam giác ABC đều và có G là trọng tâm.
a) Chứng minh GA = GB = GC.
b) Trên tia AG lấy điểm D sao cho GD = GA. Chứng minh tam giác BGD là tam giác đều.
- Chứng minh: \(\Delta ABM = \Delta CBN\) suy ra AM = CN
- Sử dụng tính chất của ba đường trung tuyến để chứng minh: GA = Gb = GC.
- Chứng minh: GD = GB = DB suy ra tam giác BBGD là tam giác đều.
a) • Do tam giác ABC đều nên AB = BC = AC.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AB.
Khi đó \(AN = NB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = BM = MC\)
Xét ∆ABM và ∆CBN có:
AB = BC (giả thiết),
\(\widehat {ABC}\) là góc chung,
BM = BN (chứng minh trên)
Do đó ∆ABM = ∆CBN (c.c.c).
Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).
• Vì G là trọng tâm tam giác ABC
Advertisements (Quảng cáo)
Nên \(AG = \frac{2}{3}AM\) và \(CG = \frac{2}{3}CN\) (tính chất trọng tâm của tam giác).
Mà AM = CN.
Suy ra GA = GC.
Chứng minh tương tự ta có GA = GB.
Do đó GA = GB = GC.
Vậy GA = GB = GC.
b) Ta có GA = GB (theo câu a) và GA = GD (giả thiết).
Nên GD = GB (1)
Ta có G là trọng tam giác ABC nên \(GM = \frac{1}{2}GA\)
Mà GA = GD nên \(GM = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).
Do đó\(GM = M{\rm{D}} = \frac{1}{2}G{\rm{D}}\).
Xét ∆GMC và ∆DMB có:
MB = MC (chứng minh câu a),
\(\widehat {GMC} = \widehat {DMB}\) (hai góc đối đỉnh),
MG = MD (chứng minh trên).
Do đó ∆GMC = ∆DMB (c.g.c)
Suy ra GC = DB (hai cạnh tương ứng).
Lại có GC = GB (theo câu a)
Nên GB = DB (2)
Từ (1) và (2) suy ra GD = GB = DB.
Do đó tam giác BGD là tam giác đều.
Vậy tam giác BGD là tam giác đều