Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. G là giao điểm của hai trung tuyến BD và CE.
a) Chứng minh: GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để EG là tia phân giác của góc DEM.
- Chứng minh:\(\widehat {AGE} = \widehat {AGD}\) nên GA là tia phân giác góc DGE.
Chứng minh: \(\widehat {BGM} = \widehat {CGM}\) nên GM là tia phân giác góc BGC.
Chứng minh: \(\widehat {AME} = \widehat {AMD}\) nên MA là tia phân giác góc EMD.
- Cho EG là tia phân giác của góc DEM chứng minh tam giác ABC đều (AB = AB = BC)
a)• Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\).
Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB = \(\frac{1}{2}\)AB.
Vì D là trung điểm của AC nên AD = CD = \(\frac{1}{2}\) AC.
Mà AB = AC nên AE = EB = AD = CD.
Tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Do đó đường trung tuyến AM của tam giác ABC cũng đi qua G.
Hay ba điểm A, G, M thẳng hàng.
Xét ∆ABM và ∆ACM có:
AB = AC (chứng minh trên),
AM là cạnh chung,
MB = MC (do M là trung điểm của BC).
Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (hai góc tương ứng)
Xét ∆AEG và ∆ADG có:
AE = AD (chứng minh trên),
\(\widehat {EAG} = \widehat {DAG}\) (do \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)),
AG là cạnh chung
Do đó ∆AEG = ∆ADG (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {AGE} = \widehat {AGD}\) (hai góc tương ứng).
Do vậy GA là tia phân giác của góc DGE.
• Ta có \(\widehat {BGM} = \widehat {AGD},\widehat {CGM} = \widehat {AGE}\) các cặp góc đối đỉnh)
Mà \(\widehat {AGE} = \widehat {AGD}\)
Nên \(\widehat {BGM} = \widehat {CGM}\)
Do đó GM là tia phân giác của góc BGC.
• Xét ∆AME và ∆AMD có:
Advertisements (Quảng cáo)
AE = AD (chứng minh trên),
\(\widehat {E{\rm{A}}M} = \widehat {DAM}\) (do \(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\)),
AM là cạnh chung,
Do đó ∆AME = ∆AMD (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {AME} = \widehat {AMD}\) (hai góc tương ứng)
Nên MA là tia phân giác của góc EMD.
Vậy GA, GM, MA lần lượt là tia phân giác của các góc DGE, BGC, EMD.
b) • Xét ∆ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {CAB} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\)
Ta có AE = AD (chứng minh câu a)
Nên tam giác AED cân tại A
Suy ra \(\widehat {AE{\rm{D}}} = \widehat {ADE}\)
Xét ∆ADE có \(\widehat {ADE} + \widehat {AE{\rm{D}}} + \widehat {DA{\rm{E}}} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Mà \(\widehat {AE{\rm{D}}} = \widehat {ADE}\) nên \(\widehat {AED} = \widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {AED} = \widehat {ABC}\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
Do đó ED // BC.
Nên \(\widehat {DEC} = \widehat {ECM}\) (hai góc so le trong)
• Để EG là tia phân giác của góc DEM thì \(\widehat {DEC} = \widehat {CEM}\)
Suy ra \(\widehat {ECM} = \widehat {CEM}\) nên tam giác MEC cân tại M.
Do đó ME = MC
Mặt khác, MB = MC nên ME = MB = MC.
Suy ra tam giác EMB cân tại M nên \(\widehat {MEB} = \widehat {MBE}\).
• Xét ∆EBC có \(\widehat {BEC} + \widehat {BCE} + \widehat {EBC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)
Hay \(\widehat {BEC} + \widehat {MCE} + \widehat {MBE} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {MEC} = \widehat {MCE}\) và \(\widehat {MEB} = \widehat {MBE}\)
Nên \(\widehat {BEC} + \widehat {MEC} + \widehat {MEB} = 180^\circ \) hay \(\widehat {BEC} + \widehat {BEC} = 180^\circ \)
Suy ra \(2\widehat {BEC} = 180^\circ \)
Do đó \(\widehat {BEC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) nên \(\widehat {AEC} = 90^\circ .\)
• Xét ∆BEC và ∆AEC có:
\(\widehat {BEC} = \widehat {AEC}\) (cùng bằng 90°),
EC là cạnh chung,
BE = AE (chứng minh câu a)
Do đó ∆BEC = ∆AEC (hai cạnh góc vuông).
Suy ra BC = AC.
Mà AB = AC (chứng minh câu a).
Do đó AB = BC = AC nên tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy điều kiện để EG là tia phân giác của góc DEM là tam giác ABC là tam giác đều.