Không dùng máy tính, hãy cho biết số \(\sqrt {\underbrace {11…1}_{101\,chữ\,số\,1}} \) là số hữu tỉ hay vô tỉ. Giải thích.
+) \(\underbrace {11…1}_{101\,chữ\,số\,1}\) có tổng các chữ số bằng 101
+) Số \(\underbrace {11…1}_{101{\kern 1pt} chữ{\kern 1pt} số{\kern 1pt} 1}\) chia 3 dư 2
+) Số \(\underbrace {11…1}_{101{\kern 1pt} chữ{\kern 1pt} số{\kern 1pt} 1}\) không là số chính phương
Ta có: \(\underbrace {11…1}_{101\,chữ\,số\,1}\) có tổng các chữ số bằng 101 và 101 chia 3 dư 2 nên số \(\underbrace {11…1}_{101{\kern 1pt} chữ{\kern 1pt} số{\kern 1pt} 1}\) chia 3 dư 2
Mặt khác, bình phương của một số tự nhiên chỉ có thể chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1, do đó số \(\underbrace {11…1}_{101\,chữ\,số\,1}\) không phải là số chính phương.
Vì vậy \(\sqrt {\underbrace {11…1}_{101\,chữ\,số\,1}} \) là số vô tỉ.