Bài 2.44 trang 34 SBT Toán 7 Kết nối tri thức: ) (underbrace {11...1}_{101,chữ,số,1}) có tổng các chữ số bằng 101...

Không dùng máy tính, hãy cho biết số $\sqrt {\underbrace {11...1}_{101\,chữ\,số\,1}}$ là số hữu tỉ hay vô tỉ. Giải thích.

+) $\underbrace {11...1}_{101\,chữ\,số\,1}$ có tổng các chữ số bằng 101

+) Số $\underbrace {11...1}_{101{\kern 1pt} chữ{\kern 1pt} số{\kern 1pt} 1}$ chia 3 dư 2

+) Số $\underbrace {11...1}_{101{\kern 1pt} chữ{\kern 1pt} số{\kern 1pt} 1}$ không là số chính phương

Ta có: $\underbrace {11...1}_{101\,chữ\,số\,1}$ có tổng các chữ số bằng 101 và 101 chia 3 dư 2 nên số $\underbrace {11...1}_{101{\kern 1pt} chữ{\kern 1pt} số{\kern 1pt} 1}$ chia 3 dư 2

Mặt khác, bình phương của một số tự nhiên chỉ có thể chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1, do đó số $\underbrace {11...1}_{101\,chữ\,số\,1}$ không phải là số chính phương.

Vì vậy $\sqrt {\underbrace {11...1}_{101\,chữ\,số\,1}}$ là số vô tỉ.