Bài 4.27 trang 61 SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, (widehat {ADE} = wid...

Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, $\widehat {ADE} = \widehat {BCE}$. Chứng minh rằng:

a) $\widehat {DAC} = \widehat {CBD}$

b) $\Delta AED = \Delta BEC.$

c) $AB//DC$

a) Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác.

b) $\Delta AED = \Delta BEC.$(g – c – g)

c)

-Chứng minh $\widehat {ABE} = \widehat {EAB}$

-Chứng minh $\widehat {ECD} = \widehat {EDC}$

-Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác chứng minh 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau.

a) Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ADE, ta có:

Ta có: $\widehat {DAE} + \widehat {ADE} + \widehat {AED}=180^0$

$\widehat {CBE} +\widehat {BCE} + \widehat {BEC}=180^0$ 

Mà $\widehat {AED} = \widehat {BEC}$ (2 góc đối đỉnh); $\widehat {ADE}=\widehat {BCE}$(gt)

$\Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DAE} = \widehat {CBE} = \widehat {CBD}$.

b)

Xét $\Delta AED$và $\Delta BEC$ có:

AD = BC

$\widehat {ADE} = \widehat {BCE}$(gt)

$\begin{array}{l}\widehat {DAE} = \widehat {CBE}\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AED = \Delta BEC\left( {g - c - g} \right)\end{array}$

c)

Ta có: $\Delta AED = \Delta BEC\left( {cmt} \right) \Rightarrow EA = EB,ED = EC$(2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow AC = EA + EC = EB + ED = BD$

Ta có: $\Delta ADB = \Delta BCA\left( {c - g - c} \right)\left( {do\,AD = BC,\widehat {ADB} = \widehat {BCA},DB = CA} \right)$

Nên $\widehat {ABD} = \widehat {BAC}$ ( 2 góc tương ứng)

Mặt khác: $\Delta ADC = \Delta BCD\left( {c - c - c} \right)\left( {do\,AD = BC;AC = BD,DC:chung} \right)$

Nên $\widehat {ACD} = \widehat {BDC}$ ( 2 góc tương ứng)

Như vậy:

$2\widehat {ABD} = \widehat {ABE} + \widehat {BAE} = {180^0} - \widehat {AEB} = {180^0} - \widehat {DEC} = \widehat {ECD} + \widehat {EDC} = 2\widehat {BDC}$

Do đó:

$\widehat {ABD} = \widehat {BDC}$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$\Rightarrow AB// CD$ (Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)