Bài 4.38 trang 66 SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức: Cho 4 điểm A, B, C, D như hình 4.40 trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:...

Cho 4 điểm A, B, C, D như hình 4.40 trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

a) AC = BD

b) $AD\parallel BC$

a) Chứng minh $\Delta ABC = \Delta DCB\left( {ch - cgv} \right)$

b)

- Chứng minh $\widehat {ABD} = \widehat {DCA}$

- Chứng minh: $\Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)$

- Chứng minh 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau $\widehat {ADB} = \widehat {DBC}$. 

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DCB$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {CDB} = {90^0}$

AB = DC (gt)

BC: Cạnh chung

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta DCB\left( {ch - cgv} \right)$

$\Rightarrow AC = DB$ (2 cạnh tương ứng)

b)

Ta có: $\Delta ABC = \Delta DCB\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\\\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\end{array} \right.$ ( cặp góc tương ứng)

Lại có:$\widehat {ABD} = \widehat {ABC} - \widehat {DBC}\\\widehat {DCA} = \widehat {DCB} - \widehat {ACB}$

$\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {DCA}$ 

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có:

BA = CD (gt)

BD = CA

$\widehat {ABD} = \widehat {DCA}\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)$

$\Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {DAC}$ (2 góc tương ứng)

Nếu gọi E là giao điểm của AC và BD thì ta có:

$\begin{array}{l}\widehat {ADB} = \dfrac{{\widehat {ADB} + \widehat {DAC}}}{2} = \dfrac{{\widehat {ADE} + \widehat {DAE}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {AED}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BEC}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\widehat {EBC} + \widehat {ECB}}}{2} = \dfrac{{\widehat {ACB} + \widehat {DBC}}}{2} = \widehat {DBC}\end{array}$

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

Nên $AD// BC$. ( Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)