Bài 4.57 trang 73 SBT Toán lớp 7 Kết nối tri thức: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB và AC lấy...

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm P, Q sao cho MP, MQ lần lượt vuông góc với AB, AC (H.4.59)

a) Chứng minh rằng MP = MQ và AP = AQ

b) Đường thẳng PQ có vuông góc với AM không? Vì sao?

a) Chứng minh: $\Delta PBM = \Delta QCM\left( {ch - gn} \right)$

b) Chứng minh: AM là đường trung trực của đoạn thẳng PQ

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên $AB = AC; \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Xét $\Delta PBM$ và $\Delta QCM$ có:

$\widehat {BPM} = \widehat {CQM} = {90^0}$

MB = MC (gt)

$\begin{array}{l}\widehat {MBP}= \widehat {MCQ} (cmt) \\ \Rightarrow \Delta PBM = \Delta QCM\left( {ch - gn} \right)\end{array}$

$\Rightarrow MP = MQ$ (2 cạnh tương ứng)

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}AP = AB - BP\\AQ = AC - CQ\\AB=AC;BP=CP\end{array} \right. \Rightarrow AP = AQ$

b)

Ta có: A, M cùng cách đều hai điểm P, Q nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng PQ. Do đó AM vuông góc với PQ.