Cho đa thức \(P\left( x \right)\). Chứng minh rằng:
a) Nếu P(x) chia hết cho x – a thì a là một nghiệm của đa thức P(x);
b) Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x – a.
a) \(P\left( x \right) = \left( {x - a} \right).Q\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Chứng minh P(a) = 0
b) \(P\left( x \right) = \left( {x - a} \right)Q\left( x \right) + R\left( x \right)\)
Chứng minh R(x) = 0 bằng phương pháp phản chứng.
a)
Advertisements (Quảng cáo)
Giả sử P(x) chia hết cho x – a. Gọi Q(x) là đa thức thương, ta có:
\(P\left( x \right) = \left( {x - a} \right).Q\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P\left( a \right) = \left( {a - a} \right).Q\left( a \right)\\ \Rightarrow P\left( a \right) = 0\end{array}\)
Vậy a là một nghiệm của P(x)
b)
Ngược lại, cho a là một nghiệm của P(x). Giả sử chia P(x) cho x – a, ta được thươngg là Q(x) và dư là R(x), nghĩa là ta có:\(P\left( x \right) = \left( {x - a} \right)Q\left( x \right) + R\left( x \right)\) (2)
Trong đó hoặc R(x) = 0, hoặc nếu R(x) # 0 thì R(x) phải có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức x – a, tức là nhỏ hơn 1.
Chứng minh rằng: R(x) = 0
Nếu R(x) # 0 thì do bậc của R(x) nhỏ hơn 1 nên R(x) có bậc 0.
Nói cách khác, R(x) là một số khác 0 nào đó. (vô lí)
Chẳng hạn x = a thì VT = 0 mà VP # 0
Vậy chỉ có thể xảy ra R(x) = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x – a.