Bài 7.33 trang 34 SBT Toán 7 Kết nối tri thức: Cho đa thức (Pleft( x right)). Chứng minh rằng:...

Cho đa thức $P\left( x \right)$. Chứng minh rằng:

a) Nếu P(x) chia hết cho x – a thì a là một nghiệm của đa thức P(x);

b) Nếu x = a là một nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) chia hết cho x – a.

a) $P\left( x \right) = \left( {x - a} \right).Q\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Chứng minh P(a) = 0

b) $P\left( x \right) = \left( {x - a} \right)Q\left( x \right) + R\left( x \right)$

Chứng minh R(x) = 0 bằng phương pháp phản chứng.

a)

Giả sử P(x) chia hết cho x – a. Gọi Q(x) là đa thức thương, ta có:

$P\left( x \right) = \left( {x - a} \right).Q\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow P\left( a \right) = \left( {a - a} \right).Q\left( a \right)\\ \Rightarrow P\left( a \right) = 0\end{array}$

Vậy a là một nghiệm của P(x)

b)

Ngược lại, cho a là một nghiệm của P(x). Giả sử chia P(x) cho x – a, ta được thươngg là Q(x) và dư là R(x), nghĩa là ta có:$P\left( x \right) = \left( {x - a} \right)Q\left( x \right) + R\left( x \right)$        (2)

Trong đó hoặc R(x) = 0, hoặc nếu R(x) # 0 thì R(x) phải có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức x – a, tức là nhỏ hơn 1.

Chứng minh rằng: R(x) = 0

Nếu R(x) # 0 thì do bậc của R(x) nhỏ hơn 1 nên R(x) có bậc 0.

Nói cách khác, R(x) là một số khác 0 nào đó. (vô lí)

Chẳng hạn x = a thì VT = 0 mà VP # 0

Vậy chỉ có thể xảy ra R(x) = 0, nghĩa là P(x) chia hết cho x – a.