Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = – {x^5} + 3{x^2} + 4x + 8;g\left( x \right) = – {x^5} – 3{x^2} + 4x + 2\). Chứng minh rằng đa thức \(f\left( x \right) – g\left( x \right)\) không có nghiệm.
-Rút gọn \(f\left( x \right) – g\left( x \right)\)
-Chứng minh \(f\left( x \right) – g\left( x \right)>0\), với mọi x.
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) – g\left( x \right)\\ = \left( { – {x^5} + 3{x^2} + 4x + 8} \right) – \left( { – {x^5} – 3{x^2} + 4x + 2} \right)\\ = – {x^5} + 3{x^2} + 4x + 8 + {x^5} + 3{x^2} – 4x – 2\\ = \left( { – {x^5} + {x^5}} \right) + \left( {3{x^2} + 3{x^2}} \right) + \left( {4x – 4x} \right) + \left( {8 – 2} \right)\\ = 6{x^2} + 6\end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l}{x^2} \ge 0 \Rightarrow 6{x^2} \ge 0 \Rightarrow 6{x^2} + 6 > 0\\ \Rightarrow f\left( x \right) – g\left( x \right) > 0\end{array}\)
Do đó \(f\left( x \right) – g\left( x \right)\) không có nghiệm.