Bài 7.40 trang 35 SBT Toán 7 Kết nối tri thức: Rút gọn các biểu thức sau:...

Rút gọn các biểu thức sau:

$a)A = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)$

b)$B = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}.$

a)

Tách riêng tính $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)$ và $\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)$: nhân các tích theo thứ tự từ trái qua phải

b)Chứng minh công thức: $\left( {A - 1} \right)\left( {A + 1} \right) = {A^2} - 1$.

a)

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\\ = \left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\\ = \left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\\ = {x^3} - 3{x^2} + {x^2} - 3x - 2x + 6\\ = {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6\end{array}$

$\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ = \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ = {x^3} + 3{x^2} - {x^2} - 3x - 2x - 6\\ = {x^3} + 2{x^2} - 5x - 6\end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left( {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right) - \left( {{x^3} + 2{x^2} - 5x - 6} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - 2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - 5x + 5x} \right) + \left( {6 + 6} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 2{x^2} + 12\end{array}$

b)

Với X là một biểu thức tuỳ ý, ta có:

$\left( {A - 1} \right)\left( {A + 1} \right) = {A^2} - A + A - 1 = {A^2} - 1$

Áp dụng:

$\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}\\ = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}\\ = \left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - 1} \right].\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}\\ = \left( {{x^4} - 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}\\ = \left[ {{{\left( {{x^4}} \right)}^2} - 1} \right] - {x^8}\\ = {x^8} - 1 - {x^8}\\ =  - 1\end{array}$