Rút gọn các biểu thức sau:
\(a)A = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\)
b)\(B = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}.\)
a)
Tách riêng tính \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\) và \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\): nhân các tích theo thứ tự từ trái qua phải
b)Chứng minh công thức: \(\left( {A - 1} \right)\left( {A + 1} \right) = {A^2} - 1\).
Advertisements (Quảng cáo)
a)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\\ = \left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\\ = \left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\\ = {x^3} - 3{x^2} + {x^2} - 3x - 2x + 6\\ = {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ = \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ = {x^3} + 3{x^2} - {x^2} - 3x - 2x - 6\\ = {x^3} + 2{x^2} - 5x - 6\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left( {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right) - \left( {{x^3} + 2{x^2} - 5x - 6} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( { - 2{x^2} - 2{x^2}} \right) + \left( { - 5x + 5x} \right) + \left( {6 + 6} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 2{x^2} + 12\end{array}\)
b)
Với X là một biểu thức tuỳ ý, ta có:
\(\left( {A - 1} \right)\left( {A + 1} \right) = {A^2} - A + A - 1 = {A^2} - 1\)
Áp dụng:
\(\begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}\\ = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}\\ = \left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - 1} \right].\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}\\ = \left( {{x^4} - 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) - {x^8}\\ = \left[ {{{\left( {{x^4}} \right)}^2} - 1} \right] - {x^8}\\ = {x^8} - 1 - {x^8}\\ = - 1\end{array}\)