Rút gọn các biểu thức sau:
\(a)A = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right) – \left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)\)
b)\(B = \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) – {x^8}.\)
a)
Tách riêng tính \(\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right)\) và \(\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)\): nhân các tích theo thứ tự từ trái qua phải
b)Chứng minh công thức: \(\left( {A – 1} \right)\left( {A + 1} \right) = {A^2} – 1\).
a)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right)\\ = \left( {{x^2} + 2x – x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)\\ = \left( {{x^2} + x – 2} \right)\left( {x – 3} \right)\\ = {x^3} – 3{x^2} + {x^2} – 3x – 2x + 6\\ = {x^3} – 2{x^2} – 5x + 6\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ = \left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ = {x^3} + 3{x^2} – {x^2} – 3x – 2x – 6\\ = {x^3} + 2{x^2} – 5x – 6\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left( {{x^3} – 2{x^2} – 5x + 6} \right) – \left( {{x^3} + 2{x^2} – 5x – 6} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^3} – {x^3}} \right) + \left( { – 2{x^2} – 2{x^2}} \right) + \left( { – 5x + 5x} \right) + \left( {6 + 6} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = – 2{x^2} + 12\end{array}\)
b)
Với X là một biểu thức tuỳ ý, ta có:
\(\left( {A – 1} \right)\left( {A + 1} \right) = {A^2} – A + A – 1 = {A^2} – 1\)
Áp dụng:
\(\begin{array}{l}\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) – {x^8}\\ = \left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) – {x^8}\\ = \left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} – 1} \right].\left( {{x^4} + 1} \right) – {x^8}\\ = \left( {{x^4} – 1} \right)\left( {{x^4} + 1} \right) – {x^8}\\ = \left[ {{{\left( {{x^4}} \right)}^2} – 1} \right] – {x^8}\\ = {x^8} – 1 – {x^8}\\ = – 1\end{array}\)