Bài 4 trang 84 Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN....

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ $BE \bot AN$(E ∈ AN).

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của giác ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của BH với CE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân. 

a) Ta chứng minh $\widehat {ABE} = \widehat {NBE}$ bằng cách chứng minh 2 tam giác BAF và BNF bằng nhau .

b) Ta chứng minh NK song song với CA do có 2 góc so le trong bằng nhau

c) Ta chứng minh góc BGC bằng góc BCG

a)      Xét $\Delta BAE$và$\Delta BNE$ có :

BA = BN (giả thiết)

BF cạnh chung

$\widehat {BEA} = \widehat {BEN}$

$\Rightarrow \Delta BAE = \Delta BNE$(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {NBF}$(góc tương ứng)

$\Rightarrow$ BE là phân giác của góc ABN

b)      Vì K là giao của 2 đường cao $\Rightarrow$K là trực tâm tam giác ABN

$\Rightarrow$ KN vuông góc với AB(1)

Vì CA vuông góc với AB ( tam giác ABC vuông tại A)(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ KN song song với CA (quan hệ cùng vuông góc với 1 đường)

c)      Ta có $\Delta BAF = \Delta BNF(c - g - c)$do có :

$\widehat {BEA} = \widehat {BEN}$

BF cạnh chung

BN = BA

$\Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF}$(2 góc tương ứng).

Mà $\widehat {BAF} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat {BNF} = \widehat {BAF} = {90^o}$

$\Rightarrow GN \bot BC$

Ta có CA và GN là 2 đường cao của tam giác GBC

$\Rightarrow$F là trực tâm của tam giác GBC

$\Rightarrow$BF vuông góc với GC tại P

Xét $\Delta BGP$và$\Delta BCP$ta có :

BP cạnh chung

$\widehat {BPC} = \widehat {BPG} = {90^o}$

$\widehat {PBC} = \widehat {PBG}$

$\Rightarrow \Delta BGP = \Delta BCP(c - g - c)$

$\Rightarrow BC = BG$(2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$Tam giác GBC cân tại B