Chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
a)
Gọi BM, CN là 2 đường trung tuyến của ΔABC
⇒MA = MC = 12AC; NA = NB = 12AB
Vì ΔABC cân tại A nên AB = AC ( tính chất)
Do đó, AM = MC = NA = NB
Xét ΔANC và ΔAMB, ta có:
AN = AM
ˆA chung
AC = AB
⇒ΔANC = ΔAMB (c.g.c)
⇒ NC = MB ( 2 cạnh tương ứng)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên của tam giác cân là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b)
Vì ∆ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G
\Rightarrow G là trọng tâm của tam giác ABC.
\Rightarrow GB = \dfrac{2}{3}BM; GC = \dfrac{2}{3}CN ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)
Mà BM = CN (giả thiết) nên GB = GC.
Tam giác GBC có GB = GC nên ∆GBC cân tại G.
\Rightarrow \widehat{GCB} = \widehat{GBC} (Tính chất tam giác cân).
Xét ∆BCN và ∆CBM có:
+) BC là cạnh chung
+) CN = BM (giả thiết)
+) \widehat{GCB} = \widehat{GBC} (chứng minh trên)
Suy ra ∆BCN = ∆CBM (c.g.c)
\Rightarrow \widehat{NBC} = \widehat{MCB} (hai góc tương ứng).
\Rightarrow ∆ABC cân tại A (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân)