Bài 70 trang 85 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh...

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh:

a) $\Delta EBH\backsim \Delta DCH,\Delta ADE\backsim \Delta ABC$;

b) $DB$ là tia phân giác của góc $EDI$, với $I$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

Tam giác $A’B’C’$ gọi là đồng dạng với tam giác $ABC$ nếu:

$\widehat{A’}=\widehat{A},\widehat{B’}=\widehat{B},\widehat{C’}=\widehat{C}$ ; $\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{A’C’}{AC}$.

Kí hiệu là $\Delta A’B’C’\backsim \Delta ABC$.

Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{C’A’}{CA}=k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

a) Vì các tam giác $EBH$ và $DCH$ đều là các tam giác vuông và $\widehat{EBH}=\widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\Delta EBH\backsim \Delta DCH$. Tương tự, ta có các tam giác $ABH$ và $ACE$ là các tam giác vuông và $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$ nên $\Delta ABH\backsim \Delta ACE$. Suy ra $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$ hay $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$. Mà $\widehat{BAC}=\widehat{DAE}$ suy ra $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$.

b) Do $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ nên $\widehat{ADE}=\widehat{CBA}$ (1). Tương tự cách chứng minh ở câu a, ta có $\Delta CDI\backsim \Delta CBA$ (2). Từ (1) và (2), ta có $\widehat{ADE}=\widehat{CDI}$.

Do đó $90{}^\circ -\widehat{ADE}=90{}^\circ -\widehat{CDI}$ hay $\widehat{EDB}=\widehat{BDI}$. Vậy $DB$ là đường phân giác của góc $EDI$.