Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho \(BM = DN\)
a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của điểm M để tia AM cắt BC tại trung điểm của BC.
Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho \(BM = DN\)
a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Xác định vị trí của điểm M để tia AM cắt BC tại trung điểm của BC.
a) Vì ABCD là hình bình hành nên \(AB = CD\), AB//CD. Do đó, \(\widehat {MBA} = \widehat {NDC}\) (hai góc so le trong)
Advertisements (Quảng cáo)
Tam giác AMB và tam giác CND có:
\(AB = CD\)(cmt), \(\widehat {MBA} = \widehat {NDC}\), \(BM = DN\) (gt)
Do đó, \(\Delta AMB = \Delta CND\left( {c - g - c} \right)\) nên \(AM = CN\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\Delta AND = \Delta CMB\left( {c - g - c} \right)\) nên \(AN = CM\)
Tứ giác AMCN có: \(AM = CN\), \(AN = CM\) nên tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Gọi E là giao điểm của AM và BC, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC
Để E là trung điểm của của BC thì AE là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lại có BO là trung tuyến của tam giác ABC.
M là giao điểm của EA và BO nên M là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó, \(MB = \frac{2}{3}BO\)
Mà \(BO = \frac{1}{2}BD\) nên \(MB = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}BD = \frac{1}{3}BD\)
Vậy khi M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho \(MB = \frac{1}{3}BD\) thì tia AM cắt BC tại trung điểm của BC.