Bài 16 trang 74 SBT Toán 8 - Chân trời sáng tạo: Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho $BM = DN$...

Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho $BM = DN$

a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) Xác định vị trí của điểm M để tia AM cắt BC tại trung điểm của BC.

Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm M và N sao cho $BM = DN$

a) Chứng minh rằng tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) Xác định vị trí của điểm M để tia AM cắt BC tại trung điểm của BC.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $AB = CD$, AB//CD. Do đó, $\widehat {MBA} = \widehat {NDC}$ (hai góc so le trong)

Tam giác AMB và tam giác CND có:

$AB = CD$(cmt), $\widehat {MBA} = \widehat {NDC}$, $BM = DN$ (gt)

Do đó, $\Delta AMB = \Delta CND\left( {c - g - c} \right)$ nên $AM = CN$

Chứng minh tương tự ta có: $\Delta AND = \Delta CMB\left( {c - g - c} \right)$ nên $AN = CM$

Tứ giác AMCN có: $AM = CN$, $AN = CM$ nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

b) Gọi E là giao điểm của AM và BC, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC

Để E là trung điểm của của BC thì AE là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Lại có BO là trung tuyến của tam giác ABC.

M là giao điểm của EA và BO nên M là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó, $MB = \frac{2}{3}BO$

Mà $BO = \frac{1}{2}BD$ nên $MB = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}BD = \frac{1}{3}BD$

Vậy khi M nằm trên đoạn thẳng BD sao cho $MB = \frac{1}{3}BD$ thì tia AM cắt BC tại trung điểm của BC.