Bài 2 trang 57 Toán 8 – Cánh diều: Cho hình thang ABCD $\left( {AB\parallel CD} \right)$ có AB = 4cm, CD = 6cm...

Cho hình thang ABCD $\left( {AB\parallel CD} \right)$ có AB = 4cm, CD = 6cm. Đường thẳng d song song với hai đáy và cắt hai cạnh bên AD, BC của hình thang đó lần lượt tại M, N; cắt đường chéo AC tại P.

a) Chứng minh $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}$;

b) Tính độ dài các đoạn thẳng MP, PN, MN; biết rằng MD = 2MA.

Dựa vào hệ quả của định lý Thales để tính độ dài đoạn thẳng AN.

a) Vì $d\parallel CD$ nên $MP\parallel CD$

Xét tam giác ADC với $MP\parallel CD$ có: $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{AP}}{{PC}}\,\,\left( 1 \right)$ (Định lý Thales)

Vì $d\parallel AB$ nên $PN\parallel AB$

Xét tam giác ABC với $PN\parallel AB$ có: $\frac{{BN}}{{NC}} = \frac{{AP}}{{PC}}\,\,\left( 2 \right)$ (Định lý Thales)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BN}}{{NC}}$.

b) Vì $MD = 2MA$ nên $\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3}$

Xét tam giác ADC với $MP\parallel CD$ có: $\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{MP}}{{DC}}$ (Hệ quả định lý Thales)

$\Rightarrow \frac{{MP}}{{DC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MP = \frac{1}{3}DC = 2cm$

Vì $\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{AP}}{{AC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{PC}}{{CA}} = \frac{2}{3}$

Xét tam giác ABC với $PN\parallel AB$ có: $\frac{{CP}}{{CA}} = \frac{{PN}}{{AB}}$ (Hệ quả định lý Thales)

$\Rightarrow \frac{{PN}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow PN = \frac{2}{3}AB = \frac{8}{3}cm$

Mà $MN = MP + PM = 2 + \frac{8}{3} = \frac{{14}}{3}cm$.